Resume : Pemrograman Linier

BAB 21 Pemrograman Linier

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Linear programming memungkinkan pengambil keputusan menemukan solusi optimal terhadap masalah alokasi sumber daya jangka pendek tanpa harus menebak-nebak.

A.    Memaksimalkan Margin Kontribusi

Margin Kontribusi (Contribution Margin—CM) sering dijadikan sebagai ukuran atas kinerja manajemen. Untuk memaksimalkan laba, manajemen harus memaksimalkan CM.

.

Informasi yang relevan adalah sebagai berikut.

Masalah tersebut dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut.

1.      Total CM dari membuat dan menjual kedua model disebut fungsi tujuan (objective function) dan dinyatakan secara matematis: anggap x dan y masing-masing mewakili kuantitas dari model standar dan model deluxe yang akan dibuat dan dijual. Fungsi tujuan :

Maksimalkan CM = 3x + 4y

2.      Batasan sumber daya, yang disebut constraints (batasan), dinyatakan dalam bentuk matematis. Dalam ilustrasi ini, permintaan penjualan melebihi kapasitas, sehingga waktu pengamplasan dan waktu pemolesan merupakan batasan satu-satunya.

2x + 5y ≤ 120

Ada 80 jam pemolesan yang tersedia. Dibutuhkan 4 jam untuk membuat satu unit standar dan 2 jam untuk satu unit deluxe. Batasan pemolesan dinyatakan:

4x + 2y ≤ 80

Dari persamaan batasan waktu pengamplasan dan pemolesan, maka  diperoleh:

lalu masukan ke fungsi objektif:

Maximize CM   = 3x + 4y

                        = 3(10) + 4(20)

                        = 110 

Suatu grafik dari batasan-batasan disajikan di bawah ini.

Area yang mungkin (feasible area), dibatasi dengan garis AB, BC, CD, dan DA yang mewakili semua kombinasi model standar dan deluxe yang dapat diproduksi. Kombinasi apapun di luar area yang mungkin tidak dapat diproduksi karena di luar batasan yang mungkin.

Dalam grafik, sudut adalah A, B, C, dan D. Untuk menemukan sudut mana yang terbaik, setiap sudut dievaluasi sebagai berikut.

Total CM dimaksimalkan ketika 10 model standar dan 20 model deluxe diproduksi dan dijual. Kombinasi ini diwakili oleh sudut C.

Untuk menentukan titik mana yang paling baik, perhatikan grafik di bawah ini. Semua kombinasi dari model standar dan deluxe yang diwakili oleh titik-titik pada garis CM yang sama akan memberikan total CM yang ama. Total CM akan meningkat bila garis CM semakin jauh dari titik A.

Kemiringan garis CM ditemukan dengan mengalikan -1 dengan suatu rasio. Rasio tersebut adalah CM dari suatu unit produk yang diwakili oleh sumbu horizontal, dibagi dengan CM dari satu unit produk yang diwakili oleh sumbu vertikal. Dalam ilustrasi ini, kemiringannya adalah -3/4. Titik-titik berikut ini dihitung dari garis CM pada grafik di atas.

Perhatikan pada grafik, garis CM paling jauh dari titik A adalah ketika garis tersebut berpotongan dengan titik C. Penggunaan penuh dari sumber daya yang tersedia terjadi hanya pada titik dimana semua persamaan batasan saling berpotongan, yang dalam contoh ini adalah titik C. Penggunaan penuh dari sumber daya tidak selalu memberikan solusi optimal.

Jika CM dari satu atau kedua produk berubah, maka kemiringan dari setiap garis CM berubah. Jika perubahan kemiringan cukup besar, maka solusi optimal bergeser ke sudut berbeda. Jika kemiringan dari setiap garis CM setara dengan kemiringan garis BC, maka semua titik di garis BC akan sama menguntungkannya. Perhatikan bahwa tidak mungkin titik mana pun di garis BC akan lebih menguntungkan daripada titik B dan C.

Minimalisasi Biaya

Selain memaksimalkan kontribusi margin, program linier juga dapat digunakan untuk meminimalkan biaya. Ilustrasinya sebagai berikut:

Diasumsikan terdapat perusahaan farmasi yang berencana untuk memproduksi tepatnya 40 galon yang terdiri dari  2 bahan, x dan y yang memiliki biaya secara berurutan $8 dan $15 per galon. Tidak lebih dari 12 galon bahan x yang dapat digunakan, sedangkan untuk memastikan kualitas, minimal 10 galon bahan y harus digunakan. Perusahaan ingin meminimalkan biaya.

Maka persamaan matematikanya adalah:

1.) Fungsi objektif : Minimaze cost = 8x + 15y

2.) Batasan : x + y = 40

                        x ≤ 12

                        y ≥ 10 

Solusi yang optimal dari contoh ini sangat mudah diltemukan, karena x lebih murah daripada y. Jumlah maksimal bahan x yang digunakan adalah 12 galon, dan 28 galon lainnya dibutuhkan untuk membuat total 40 galon dimana sisanya adalah diambil dari bahan y yang lebih mahal harganya. Dalam masalah yang rumit, solusinya menjadi tidak jelas, khususnya jika terdapat bahan yang sangat banyak dengan banyak jenis batasan yang berbeda.